En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto:

• $Domf= \Re$ Hallemos los ceros: $f(x)=0$

\( e^{-x} - 2 = 0 \)

\( e^{-x} = 2 \)

Aplicamos logaritmo natural de ambos lados:

\( -x = \ln(2) \)

\( x = -\ln(2) \)

• $C^{0} = \{-\ln(2)\}$ 

Hallemos la imagen: Para encontrar la imagen de \( f(x) \), vamos a calcular los límites de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \infty \) y \( -\infty \): Cuando \( x \to \infty \):

\( \lim_{x \to \infty} (e^{-x} - 2) = 0 - 2 = -2 \)

Cuando \( x \to -\infty \):

\( \lim_{x \to -\infty} (e^{-x} - 2) = \infty - 2 = \infty \) • $Imf = (-2, \infty) $ Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: La función es positiva cuando \( f(x) > 0 \) y negativa cuando \( f(x) < 0 \). Al saber que hay un cero en \( x = -\ln(2) \), podemos determinar que la función es positiva para \( x \) menor que \( -\ln(2) \) y negativa para \( x \) mayor que \( -\ln(2) \) debido a la naturaleza decreciente de la función exponencial \( e^{-x} \). (Si vos querés podés hacer Bolzano también, como prefieras).

• $C^{+} = (-\infty, -\ln(2)) $

• $C^{-} = (-\ln(2), \infty)$

Veamos si hay asíntota horizontal, analizando los límites cuando $x$ tiende a -infinito y + inifnito:

Como la función \( e^{-x} \) tiende a 0 mientras \( x \) tiende al infinito, y la función tiene un desplazamiento vertical de -2 unidades, tenemos: • Hay AH en $y = -2$