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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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2. En cada caso hallar dominio, imagen, ceros, conjuntos de positividad y de negatividad y dar la ecuación de la asintota horizontal de $f$. Graficar.
b) $f(x)=e^{-x}-2$

Respuesta

En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto:
• $Domf= \Re$
Identifiquemos si se trata de una función exponencial creciente ($a>0$) o decreciente ($0<a<1$):

La función $f(x)=e^{-x}-2$ tiene base $\frac{1}{e} \approx 0,3678..$ (ya que tenemos exponente $-x$). Es decir que la función va a ser del tipo decreciente.
-> Hallemos los ceros: $f(x)=0$
$e^{-x} - 2 = 0$

$e^{-x} = 2$
Aplicamos logaritmo natural de ambos lados:

$\ln(e^{-x}) = \ln(2)$

$-x \cdot \ln(e) = \ln(2)$

$-x = \ln(2)$
 
$x = -\ln(2)$ 

• $C^{0} = \{-\ln(2)\}$ 

-> Hallemos la imagen:
Observando la función, vemos que hay un valor restando a la porción exponencial, y eso nos indica que su imagen va a comenzar en -2. Hay una traslación de la gráfica $e^{-x}$ de dos unidades hacia abajo. Sabiendo que la función es decreciente, podemos decir que:
• $Imf = (-2, \infty) $ -> Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: Al saber que hay un cero en $x = -\ln(2)$, y sabiendo que la gráfica tiene forma decreciente, podemos determinar que la función es positiva para $x$ menores a $-\ln(2)$ y negativa para $x$ mayores a $-\ln(2)$. (Si vos querés podés hacer Bolzano también, como prefieras).
Por lo tanto:

• $C^{+} = (-\infty, -\ln(2)) $
• $C^{-} = (-\ln(2), \infty)$



-> Hallemos la asíntota horizontal:


Vamos a calcular los límites de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $+\infty$ y $-\infty$, considerando que la función es decreciente. · Cuando \( x \to \infty \):
  $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} - 2 = e^{-\infty} - 2 = 0 - 2 = -2$

· Cuando \( x \to -\infty \):
    $\lim_{x \to -\infty} e^{-x} - 2 = e^{-(-\infty)} - 2 = e^{+\infty} -2 = +\infty - 2 = +\infty$



• Hay AH en $y = -2$


(Acordate que no hay asíntotas verticales (AV) en funciones exponenciales)





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Avatar Bel 15 de mayo 14:44
Juli, con encontrar que se corrobora el valor de la A.H en alguno de los 2 inf es suficiente para acreditar que ese es el valor de la A.H? Te consulto, porque me confunde que a veces analizás - inf y + inf y te da de resultado 0, como en el ejercicio anterior. En cambio en este analizás -inf y + inf y te da en uno -2 y en otro + inf. Por eso te consulto, ya con que se corrobore un valor en alguno de los dos analisis de inf es válido decir que ese es el valor de la A.H? 
Mi docente solo nos hace analizar con inf en general, no discriminar en - inf y en + inf pero entiendo que eso puede interferir el resultado por lo que veo
Avatar Julieta Profesor 15 de mayo 17:13
@Bel Hola Bel! En funciones homográficas no importa para qué lado evalues el límite, si + o - inf. Pero en exponenciales sí está bueno considerarlo. Justo te lo respondí en otro comentario que me hiciste hace un ratito. 

Igual, si vos evaluas el límite y ya te da la asíntota, genial! Hacelo así! 

Yo lo que hago en general es pensar la forma de la función: si es creciente o decreciente, y después evaluo el límite cuando $x$ tiende a -inf si f es creciente; o a +inf si la función es decreciente, porque sé que justo de ese lado está la asíntota.

Avatar Delfi 14 de mayo 18:36
Hola profe, no entiendo por qué e elevado a -♾️ da 0. No se daría vuelta la fracción al estar elevando a negativo?
Avatar Julieta Profesor 14 de mayo 18:47
@Delfi Hola Delfi! Super interesante tu razonamiento. Una forma de verlo es pensar en la gráfica de $e^{-x}$, que es una gráfica decreciente, por lo tanto a mayores valores de $x$ (valores bieeen a la derecha del gráfico), la función vemos que tiene a cero (se acerca a su asíntota horizontal en $y=0$). 

Otra forma de pensando sería lo que decís vos. Pensar en $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$. Y en ese caso, cuando $x$ tiende a infinito (o sea, a valores muuuy grandes), $e^x$ va a tender a infinito también, y te va a quedar una división donde tenés un número dividido algo enorme, algo que tiende a infinito. Eso siempre tiende a cero.
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